首先，双方自愿送养需共同送养并向民政部门登记，收养关系自登记时成立。其次，依据《中华人民共和国民法典》第一千一百零五条，收养可签订收养协议，并可选择办理收养公证以增强法律效力。未及时登记或公证可能导致收养关系不受法律保护。
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处理方式如下：1.双方达成共识：生父母与收养人需就送养事宜达成一致。2.民政部门登记：共同前往县级以上民政部门办理收养登记，确立收养关系。3.可选收养公证：为增强法律保障，双方可选择性地办理收养公证手续。
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常见的处理方式是先共同送养，再向民政部门登记收养关系，并可选择性地办理收养公证。根据《中华人民共和国民法典》相关规定，收养应遵循自愿原则，并确保流程合法，以保障双方及收养子女的合法权益。